Wednesday, August 02, 2006

LA UTILIDAD DE LAS MATEMATICAS

1. Variedades del uso de las matemáticas Utilidad de las Matemáticas

Para que una cosa sea útil ha de tener la capacidad de satisfacer una necesidad humana. Se dice de ordinario que las matemáticas son útiles, pero por ser muy grande la variedad de sus usos, resultará rentable ver qué diferentes significados podemos hallar para esa palabra. Un pedagogo, especialmente de la variedad clásica, podría decirnos que las matemáticas son útiles porque nos enseñan a pensar y a razonar con precisión. Un arquitecto o un escultor -de la variedad clásica nuevamente- podría decirnos que las matemáticas son útiles porque llevan a la percepción y creación de la belleza visual. Un filósofo podría decirnos que en tanto que permiten escapar de las realidades de la vida cotidiana. Un profesor de matemáticas podría asegurar que las matemáticas son útiles porque le permiten ganarse el pan. El astrónomo o el físico dirán que las matemáticas resultan útiles porque son el lenguaje de la ciencia. Un ingeniero civil asegurará que las matemáticas le permiten construir un puente de manera mas expedita. Un matemático dirá que en el seno de las propias matemáticas, un sistema matemático es útil cuando es aplicable a otro sistema matemático.
Como vemos, los significados de "utilidad matemática" abarcan elementos de tipo estético, filosófico, histórico, psicológico, pedagógico, comercial, científico, tecnológico y matemático. Y esta relación no agota la totalidad de significados posibles. El profesor Roger Tanner, de Sidney, refirió la siguiente anécdota. Dos estudiantes entraron en el despacho de un colega suyo para decirle que querían seguir su curso superior en matemática aplicada. El profesor, encantado, les hizo a sus potenciales alumnos una auténtica "venta" de su curso: los detalles del programa, sus conexiones con otras materias, etc. Pero los dos estudiantes le interrumpieron diciendo: "No, no nos ha comprendido. Nosotros somos trotskistas. Queremos recibir su curso porque es totalmente inútil. Si lo seguimos "ellos" no podran hacer que lo utilicemos con propósitos contrarevolucionarios". Así, pues, hasta la inutilidad es útil.
Vamos a fijarnos aquí en la utilidad matemática que se da dentro de la ctividad científica o tecnológica. Podemos distinguir entre utilidad dentro del propio campo matemático y utilidad para otros campos. Incluso con estas subdivisiones, la noción de utilidad es sumamente resbaladiza.

2. Sobre la utilidad de las matemáticas en las matemáticas

¿Qué significado tiene decir que que una pieza de matemáticas es utilizada o aplicada en la propia matemática? Se puede afirmar, por ejemplo, que la teoría de ideales es útil en la teoría de números. Lo que se quiere decir con ello es que algunos resultados de la teoría de ideales han servido para mostrar la imposibilidad de ciertos casos particulares del teorema magno de Fermat.
Significa también que si uno quiere entender esa demostración de tal imposibilidad, mas le vale conocer y comprender tales y tales teoremas de la teoría de ideales.
En este sentido podemos, pues, hablar de la aplicación del análisis tensorial a la teoría de elasticidad, de la teoría de funciones complejas a la teoría de números, del análisis no estándar a la teoría de espacios de Hilbert, o de la teoría de puntos fijos a las ecuaciones diferenciales.
Por lo tanto, dentro de las matemáticas, lo que debemos entender por aplicación de la teoría A a la teoría B es que se han utilizado los materiales, la estructura, las técnicas e intuiciones correspondientes a la teoría A, con el propósito de arrojar luz o formar inferencias relativas a los materiales y estructuras de la teoría B. Las conexiones o aplicaciones entre unas y otras partes de las matemáticas constituyen aspectos que suelen calificarse de "puros". De este modo, al utilizar la teoría algebraica de ideles para analizar algún aspecto del teorema magno de Fermat, dicha aplicación sería de carácter "puro". Por otra parte si la teoría algebraica de ideales llegara a tener aplicación en la teoría de conmutación telefónica (lo cual ignoro) se habría hecho un uso "aplicado" de la teoría de ideales.
Ahora bien, ni los métodos ni las demostraciones son únicas; los teoremas se pueden demostrar de distintas formas. Puede ser, por consiguiente, que una cierta aplicación de A para demostrar la verdad de ciertos resultados de la teoría B no sea de carácter esencial. Tal vez sea preferible, por razones históricas o de otra índole, establecer B por medio de C o D. En realidad, puede incluso que parte del juego consista en eso. Así, durante muchos años, el teorema del número primo fue demostrado por medio de la teoría de funciones de variable compleja. Dado que la noción de número primo es mas sencilla que la de número complejo, se consideró que valía la pena tratar de establecer dicho teorema sin recurrir a números complejos. Cuando finalmente se alcanzó esta meta, la utilidad que tenía la teoría de variable compleja en la teoría de números había cambiado.
El tiempo puede ser causa de cambios de utilidad en sentido inverso. Así, cuando se dió la primera demostración del teorema fundamental del álgebra, la topología aun se encontraba en su infancia, y los aspectos topologicos de la demostración fueron tenidos por evidentes y sin importancia. Ciento cincuenta años mas tarde, con una topología madura a nuestra disposición, se considera que los aspectos topológicos del problema son crucialmente importantes, y que constituyen una espléndida aplicación del concepto de número de vueltas.
Podemos distinguir entre teoremas útiles, o sea, teoremas a los que se le han encontrado aplicación, teoremas muy útiles, a los que se le han encontrado muchas, y teoremas inútiles, para los que no se saben de ninguna.

Como es obvio, siempre se le puede empalmar algo al teorema T y llegar a un teorema T`; dando de esta forma una aplicación a T. Pero esta clase de trucos va contra las normas del buen gusto matemático.
No es menos cierto que existe la tendencia a hilvanar el propio pensamiento (y mas tarde la exposición) recurriendo a teoremas muy conocidos o rutinarios como el teorema del valor medio, o el teorema del punto fijo, o el teorema de Hann-Banach.

Hasta cierto punto ese proceder es arbitrario, de igual modo que Madrid es punto arbitrario de transbordo para la mayoría de los vuelos entre ciudades españolas. Claro que no es difícil dar razones que así lo justifiquen.
Grandes son la importancia y la reputación que se concede a los teoremas muy útiles. Lo cual es hasta cierto punto paradójico, pues si un teorema es fruto u objeto de una actividad matemática, entonces tal meta, por su carácter de objeto estético, debería ser valiosa tanto si engendra a otros como si no.
La gran consideración que se concede a los resultados "útiles", combinada con los confusos significados atribuidos a "utilidad" ha provocado arduas discusiones acerca de qué es lo fructífero y que no. Los juicios de este estilo afectan a todas las facetas de las matemáticas, desde la enseñanza a la investigación, y llevan de cuando en cuando a entusiasmos poco estables, consecuencia de las modas.
Consideración y estima que subyacen también al énfasis que se pone en los procesos del trabajo matemático, a expensas de los resultados de dichos trabajos. En nuestros días, son demasiados los textos de matemáticas que tiene una cualidad nerviosa, jadeante, por así decirlo, que están dedicados a seguir implacentemente un objetivo. Alcanzado éste, no dejan en nosotros un sentimiento de alborozo, sino de anticlímax. En ningún punto de tales libros hallaremos el menor comentario de porqué es importante el objetivo, o para que lo és, con la posible excepción de que tal meta pueda ser utilizada ahora como punto de partida para alcanzar otros objetivos más profundos. Cárguese en Euclides el tanto de culpa si se quiere, pues esa tendencia estaba ya en su exposición.

3. Sobre la utilidad de las matemáticas en otros campos científicos o tecnológicos.

La actividad en la cual las matemáticas encuentran aplicaciones externas a sus intereses propios se denominan corrientemente "matemática aplicada".

La matemática aplicada es automáticamente interdisciplinar, y es probable que lo ideal fuese que se dedicaran a ella personas cuyo interés primordial no fueran las matemáticas. Si la disciplina complementaria fuese la física, pongamos por caso, puede resultar difícil que ha de ser clasificado como matemática aplicada y qué como física teórica.
La aplicación de las matemáticas en campos situados fuera de ellas sucita cuestiones de otra naturaleza. Supongamos, por ejemplo, que se tenga una aplicación de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales a la teoría matemática de elasticidad. Podemos preguntarnos ahora si la teoría de elasticidad tiene aplicaciones fuera de sí misma. Hállense éstas en la Ingeniería Teórica. Cabe inquirir si esa teoría es de interés para el Ingeniero práctico. Supongamos que sí, que le permita, digamos, hacer un análisis de resistencia de la puerta de un automóvil. Una vez más se sucita la cuestión de cómo podría afectar una cosa así al hombre de la calle.
Supongamos que el análisis de esfuerzos demuestre que una puerta recién diseñada cumple los requisitos mínimos de resistencia exigidos por la ley. En tal caso, hemos podido ir siguiendo el descenso de aplicación, desde las alturas de la más elevada abstracción hasta el nivel de consumidor. Evidentemente no hay porqué detenerse aquí. Podemos indagar ahora si el automóvil es útil para algo, etcétera.
Convengamos en llamar utilidad común a la que alcanza hasta el público general (lo cual da por supuesto que sabemos en qué está realmente interesada la gente, hipótesis objetable). No estamos proponiendo que haya de ser sólo el criterio del interés público el que juzgue la utilidad matemática; sería desastrozo que así fuera. Pero dado que la vida se desarrolla en gran medida a través de actividades de producción y consumo, de compra, venta e intercambio, se debería tener un concepto claro y sólidamente asentado de la posición que ocupa nuestra disciplina con respecto a estas actividades básicas.
¿Qué aplicaciones de las matemáticas tienen utilidad común? Es obvio que la respuesta será de gran trascendencia para la educación, la preparación de textos y la investigación matemática. Y, sin embargo, está envuelta en mitos, revestida de ignorancia, información errónea y puras ilusiones. Algunos ejemplos de utilidad común son tan claros como la luz del día. Cuando la cajera del supermercado halla el total de nuestra compra, o cuando en el estudio del Arquitecto se confecciona un presupuesto, tenemos aplicaciones claras de las matemáticas a nivel de utilidad común. Estos cálculos pueden ser triviales y realizables por personas sin gran refinamiento matemático; pero son matemáticas a pesar de todo, y los cálculos relativos a recuentos, mediciones y precios constituyen el grueso del total de operaciones matemáticas a nivel de utilidad común.
Cuando se pasa a las matemáticas superiores, tales aplicaciones son más difíciles de observar y comprobar. Sería de enorme importancia en la profesión que algún investigador vivaz y matemáticamente culto le dedicase algunos años a la tarea, y mediante visitas a empresas, laboratorios, fábricas, etc., expusiera documentación donde se dan.
Una organización puede tener a su servicio personal de sólida formación matemática y disponer quizá de un complejo equipo informático porque los aspectos teóricos de su actividad pueden quedar plasmados en términos matemáticos. Nada de ello significa que las matemáticas que allí están haciendo alcancen el nivel de utilidad común. La emergencia de matemáticas potencialmente aplicables al nivel de utilidad común puede verse frustrada o bloqueada por decenas de motivos diferentes. Quizá resulte muy dificultoso, caro o inadecuado, computarizar esfuerzos en la puerta de un automóvil por medio de un modelo matemático, tal vez sea mas económico y fiable ensayar mecánicamente la puerta en una máquina de ensayos o mediante choques. Puede ocurrir también que un modelo matemático requiera muchos parámetros, cuyos valores, sencillamente, no estén disponibles.
En un texto típico de matemática aplicada encontramos, por ejemplo, un análisis del problema de Laplace para una región bidimensional. Esta teoría tiene importantes aplicaciones, dice el autor, en elctrodinámica e hidrodinámica. Tal vez sea como dice, pero en lugar de hipócritas aplicaciones potenciales, uno quisiera verlas señaladas y localizadas al nivel de utilidad común.

4. Comparación entre la matemática pura y la aplicada.

Está ampliamente difundido el principio de que la mente prevalece sobre la materia, que el espíritu es mas elevado que la carne, y que el universo mental es superior al universo físico. Pudo tal principio haber tenido su origen en la fisiología humana y en el sentimiento que identifica el "yo" con la "mente" y la mente con el cerebro. No parece que reemplazar un miembro o un órgano, como una pierna o un ojo, por otro artificial o transplantado, suponga alteración o amenaza para el "yo". Imaginemos, en cambio, un transplante de cerebro, o que el contenido del cerebro de otra persona fuera volcado sobre el nuestro, y oiremos al yo gritar su sangriento asesinato: está siendo destruido.
La reputada superioridad de la mente sobre la materia encuentra expresión en la declaración de principios que las matemáticas son a un tiempo la forma mas noble y mas pura de pensamiento, que se deduce de la mente pura sin auxilio apenas del mundo exterior, y al que no necesitan devolver nada.
La terminología actual diferencia entre matemática "pura" y "aplicada"; existe un sentimiento tácito y universalmente difundido de que las aplicaciones tienen algo de antiestético.
Una de las mas vigorosas confesiones de pureza ha salido de la pluma de G.H. Hardy (1877-1947) quien ha escrito:
"Jamás he hecho nada útil. Ninguno de mis descubrimientos ha causado, ni es probable que sea causa de, directa o indirecta, para bien o mal, la mas mínima diferencia en el bienestar del mundo. He contribuído a formar a otros matemáticos, pero han sido matemáticos de la misma clase que yo, y su trabajo ha resultado tan inútil como el mío, al menos en la medida en que he colaborado en él. Juzgado según cualesquiera criterior prácticos, el valor de mi vida es nulo, y fuera de las matemáticas, trivial en todo caso. Tengo apenas una posibilidad de escapar al veredicto de trivialidad absoluta: quizá se juzgue que he creado algo digno de ser creado. Y que algo he creado es inegable, lo que está en cuestión es su valor.

El alegato en pro de mi vida, y obviamente de quienquiera haya sido matemático en el mismo sentido en que lo he sido yo, es éste: que he aportado algo al conocimiento y he ayudado a otros a aportar más; y que estos algos tienen un valor que difiere sólo en grado, mas no en naturaleza, de las creaciones de los mas grandes matemáticos, o de cualesquiera otros artistas, grandes o pequeños, que hayan dejado en pos de sí algo por lo que ser recordados..."
El manifiesto de Hardy es extremo, mas expresa, no obstante, una actitud central en el ethos dominante en las matemáticas del Siglo XX, a saber, que en matemáticas la máxima aspiración es lograr una obra de arte duradera. Si una pieza preciosa de matemática pura resulta útil en alguna ocasión, tanto mejor. Pero la utilidad, en tanto que meta a alcanzar, es inferior a la elegancia y la profundidad.
Se ha producido en los últimos años un perceptible desplazamiento de actitudes en los matemáticos norteamericanos. La matemática aplicada es hoy considerada de buen estilo. Tal tendencia no está libre de relación con los cambios en el mercado laboral académico. No hay, en las universidades norteamericanas, mucho donde los Doctores en Matemáticas puedan elegir. De las vacantes que se anuncian, en muchas se exige competencia en estadística, informática, análisis numérico o matemática aplicada. En consecuencia son visibles los esfuerzos de muchos matemáticos por hallar nexos entre su especialidad y algún campo de aplicación. No está claro si este cambio de actitudes es pasajero o si va a ser permanente. Hay pocos indicios de cambios en el sistema básico de valores entre los matemáticos, que confieran al objetivo de utilidad un rango inferior.
La afirmación de la superioridad de la mente sobre la materia ha proyectado su sombra sobre los escritos de historia de las matemáticas. El grueso de los textos sobre el tema se ocupa de cuestiones o desarrollos internos, es decir de las relaciones de las matemáticas consigo mismas.

A pesar de la vasta cantidad de material de que se dispone sobre asuntos extriores a las matemáticas, este material sigue sin valorar, o si lo está, está infravalorado o indebidamente representado. Por ejemplo, se deja totalmente de lado el papel desempeñado por la astronomía en el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Se sabe que gran parte de la motivación de esta teoría provino del deseo de resolver la ecuación posicional de Kepler correspondiente al movimiento planetario.
Aparte las cuestiones de superioridad, podemos afirmar dcididamente que en buen número de aplicaciones resulta mas difícil trabajar en aplicaciones que en matemática pura. El escenario es mas amplio, y los hechos más numeroros y vagos. La precisión y el equilibrio estético que con tanta frecuencia es el alma de la matemática pura puede ser un imposible.

5. Del hardysmo al maoísmo matemático

El hardysmo es la doctrina que sostiene que solamente deberíamos proponernos el estudio de las matemáticas inútiles. Esta doctrina es ofrecida por Hardy como credo puramente personal en su libro A Mathematician`s Apology.
El maoísmo matemático es, por el contrario, la doctrina que mantiene que sólo se deben cultivar aquellas ramas de las matemáticas que sean socialmente útiles. "Lo que exigimos -escribió el Presidente Mao Tse-tung- es la unidad de la política y el arte".
Durante determinada época del régimen de Mao fue decretada una moratoria sobre el trabajo de investigación científica. Se suponía que durante ese tiempo, unos comités de revisión habrían de evaluar la importancia de distintas especialidades y subespecialidades, teniendo bien presente el criterio de que la investigación debe encaminarse a problemas prácticos y de que la enseñanza ha de basarse en aplicaciones concretas. Se presionó a los investigadores para que abandonasen ciertos campos, por ejemplo, la topología. Habría que poner énfais en una investigación científica acorde con una política de "puertas abiertas", en la cual "la investigación científica sirviera a la política proletaria, a los obreros, campesinos y soldados, y estuviera integrada con el trabajo productivo".
Los investigadores tendrían que salir de sus torres de marfil y emplearse en fábricas o comunas; recíprocamente, obreros y campesinos habrían de desfilar por las instituciones científicas para proponer tareas de investigación. Se daba por supuesto que la investigación habría de combinar los esfuerzos de los administradores, los investigadores y los obreros; de los viejos, de las personas de mediana edad y de los jóvenes. Esta teoría recibió el nombre de "principio de tres en uno".
Evidentemente, lo que se desea lograr en las matemáticas, lo mismo que en la vida en general, es equilibrio. ¿Existe algún país donde se dé el equilibrio adecuado? Nadie lo sabe. Tras la muerte de Mao, el desequilibrio del maoísmo matemático resultó demasiado obvio y se tomaron medidas de corrección. Tengo la impresión, que me formé conversando con matemáticos chinos que visitaron los Estados Unidos en 1979, de que la investigación matemática que hoy se cultiva en china es muy similar a la que se practica por doquier.

1 Comments:

At 6:40 PM, Blogger Consorcio said...

no me ayudo mucho am mi trabajo

 

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